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3.4 : L'équation de Bernoulli - Géosciences

3.4 : L'équation de Bernoulli - Géosciences


Dans l'exemple d'écoulement non visqueux devant une sphère décrit dans la section précédente, la pression est élevée aux points où la vitesse est faible, et vice versa. Il n'est pas difficile de dériver une équation, appelée la équation de Bernoulli, cela explique cette relation. Parce que cela sera utile plus tard, je vais vous montrer ici comment cela se produit.

Lignes de flux

Je dois d'abord être plus précis sur ce que j'ai appelé par hasard les lignes de flux. La vitesse du fluide est une quantité vectorielle et, comme le fluide se comporte comme un continuum, un vecteur vitesse peut être associé à chaque point de l'écoulement. (Mathématiquement, cela est décrit comme un champ vectoriel.) Les courbes continues et lisses qui peuvent être dessinées pour être partout tangentes aux vecteurs de vitesse dans tout le champ vectoriel sont appelées rationalise (Figure (PageIndex{1})). Une et une seule ligne de courant passe par chaque point de l'écoulement, et à un moment donné, il n'y a qu'un seul ensemble de courbes dans l'écoulement. Il y a évidemment une infinité de lignes de courant passant par n'importe quelle région d'écoulement, aussi petite soit-elle ; en général, seules quelques lignes de courant représentatives sont représentées dans les croquis et les diagrammes. Une propriété importante des lignes de courant découle directement de leur définition : l'écoulement ne peut jamais traverser des lignes de courant.

Si le débit est stable, le modèle de ligne de courant ne change pas avec le temps ; si le modèle de ligne de courant change avec le temps, l'écoulement est instable. Mais notez que l'inverse de chacune de ces affirmations n'est pas nécessairement vrai, car un écoulement instable peut présenter un modèle immuable de lignes de courant à mesure que les vitesses augmentent ou diminuent partout avec le temps.

Il existe deux autres types de lignes de flux, avec lesquelles il ne faut pas confondre les lignes de courant (Figure (PageIndex{2})) : lignes de chemin, qui sont les trajectoires tracées par de minuscules particules marqueurs individuelles émises à partir d'un certain point dans l'écoulement qui est fixe par rapport aux limites stationnaires de l'écoulement, et lignes striées, qui sont les traînées formées par un flux entier de minuscules particules de marqueur émises en continu à partir d'un point dans l'écoulement qui est fixe par rapport aux limites stationnaires de l'écoulement. En flux constant, les lignes de courant, les trajectoires et les lignes de stries sont toutes les mêmes ; en écoulement instable, ils sont généralement tous différents.

Streamtubes et l'équation de Bernoulli

Vous pouvez également imaginer une surface en forme de tube formée par des lignes de courant, appelée tube de flux, traversant une région (Figure (PageIndex{3})). Cette surface ou cet ensemble de lignes de courant peut être considéré comme fonctionnant comme s'il s'agissait d'un vrai tube ou conduit, en ce sens qu'il y a un écoulement à travers le tube mais qu'il n'y a pas d'écoulement ni vers l'intérieur ni vers l'extérieur à travers sa surface.

Considérons un court segment d'un de ces minuscules tubes d'écoulement dans un écoulement de fluide incompressible (Figure (PageIndex{4})). Écrivez l'équation du mouvement (deuxième loi de Newton) pour le fluide contenu à un certain instant dans ce segment de tube à courant. La section transversale du tube est (Delta A), et la longueur du segment est (Delta s). Si la pression à la section 1, à l'extrémité gauche du segment, est (p), alors la force exercée sur cette extrémité du segment est ( p Delta A). Il n'est pas important que l'aire de la section transversale puisse être légèrement différente aux deux extrémités (si le flux se dilate ou se contracte), ou que (p) puisse varier légèrement sur la section transversale, car vous pouvez faire la croix -section du tube de flux aussi petite que vous le souhaitez. Quelle est la force à l'autre extrémité du tube ? La pression à la section transversale 2 est différente de celle à la section transversale 1 par ((partial p / partial s) Delta s), le taux de variation de la pression dans le sens de l'écoulement multiplié par la distance entre les deux sections transversales , donc la force sur l'extrémité droite du tube est

[left(p+frac{partial p}{partial s} Delta s ight) Delta A label{3.7} ]

La force nette sur le tube d'écoulement dans le sens de l'écoulement est alors

[p Delta A-left(mathrm{p}+frac{partial p}{partial s} Delta s ight) Delta A=-frac{partial p}{partial s } Delta s Delta A label{3.8} ]

La pression sur la surface latérale du tube n'est pas préoccupante, car la force de pression exercée sur celui-ci agit perpendiculairement à la direction d'écoulement.

La deuxième loi de Newton, (F = d(mv) / dt) , pour le fluide dans le segment du tube d'écoulement, où (v) est la vitesse du fluide en tout point (dans cette section (v ) n'est pas utilisé comme composante de la vitesse dans la direction (y) mais comme composante de la vitesse tangente à la ligne de courant en un point donné), est alors

[-frac{partial p}{partial s} Delta s Delta A=frac{d}{d t}[v( ho Delta s Delta A)] label{3.9} ]

En simplifiant l'équation ef{3.9} et en utilisant le fait que ( ho) est constant et peut donc être déplacé en dehors de la dérivée,

[-frac{partial p}{partial s}= ho frac{d v}{d t} label{3.10} ]

La dérivée du côté droit de l'équation ef{3.10} peut être mise sous une forme plus pratique en utilisant la règle de la chaîne et une simple « indifférenciation » de l'un des termes résultants :

[egin{aligned}-frac{partial p}{partial s} &= ho frac{dv}{dt} &= holeft[frac{partial v}{ partiel t} frac{dt}{dt}+frac{partial v}{partial s} frac{ds}{dt} ight] &= holeft[frac{partial v }{partial t}+v frac{partial v}{partial s} ight] end{aligned}]

[= holeft[frac{partial v}{partial t}+frac{1}{2} frac{partialleft(v^{2} ight)}{partial s } ight] label{3.11} ]

L'équation ef{3.11} n'est strictement vraie que pour la ligne de courant unique vers laquelle le tube de courant s'effondre lorsque nous laissons (Delta A) aller à (0), car alors seulement nous n'avons pas besoin de nous soucier de la variation possible de l'un ou l'autre (p) ou (v) sur les sections transversales. En supposant en outre que le flux est stable, (partial v / partial t=0), et l'équation ef{3.11} devient

[-frac{partial p}{partial s}=frac{ ho}{2} frac{partialleft(v^{2} ight)}{partial s} label{ 3.12} ]

Il est facile d'intégrer l'équation ef{3.12} entre deux points (1) et (2) sur la ligne de courant (rappelez-vous que cette équation est valable pour toute ligne de courant dans l'écoulement) :

(-int_{1}^{2} frac{partial p}{partial s} ds=frac{ ho}{2} int_{1}^{2} frac{partial left(v^{2} ight)}{partial s} ds)

[p_{2}-p_{1}=-frac{ ho}{2}left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2} ight) label{3.13} ]

ou, vu d'une autre manière,

[p+frac{ ho v^{2}}{2}= ext {const} label{3.14} ]

Vous pouvez voir à partir de l'équation ef{3.13} que si le flux est stable et incompressible, il existe une relation inverse entre la pression du fluide et la vitesse du fluide le long d'une ligne de courant. L'équation ef{3.13} ou l'équation ef{3.14} est appelée la équation de Bernoulli. N'oubliez pas qu'il ne tient que le long des lignes de courant individuelles, pas à travers l'ensemble du flux. En d'autres termes, la constante dans l'équation ef{3.14} est généralement différente pour chaque ligne de courant dans le flux. Et cela ne vaut que pour un écoulement non visqueux, car si le fluide est visqueux, il y a des forces de cisaillement sur les surfaces latérales des tubes d'écoulement, et la deuxième loi de Newton ne peut pas être écrite et manipulée aussi simplement. Mais souvent dans l'écoulement d'un fluide réel, les forces visqueuses sont suffisamment petites en dehors de la couche limite pour que l'équation de Bernoulli soit une bonne approximation.

Noter

Notez que le membre de droite de l'équation ef{3.13} est le négatif de l'augmentation de l'énergie cinétique par unité de volume de fluide entre le point 1 et le point 2. L'équation de Bernoulli est juste un énoncé du théorème travail-énergie, par lequel le travail effectué par une force agissant sur un corps est égal au changement d'énergie cinétique du corps. Dans ce cas, la pression du fluide est la seule force agissant sur le fluide.

En discutant de l'écoulement non visqueux autour d'une sphère, j'ai appelé les points avant et arrière de la sphère les points de stagnation, car les vitesses par rapport à la sphère y sont nulles. En utilisant l'équation de Bernoulli, il est facile de trouver le correspondant pressions de stagnation. En prenant les valeurs de flux libre de pression et de vitesse pour être po et vo, en écrivant l'équation ef{3.13} sous la forme

[p-p_{o}=-frac{ ho}{2}left(v^{2}-v_{o}^{2} ight) label{3.15} ]

et en substituant (v = 0) aux points de stagnation, les pressions de stagnation (les mêmes pour les points avant et arrière) sont

[p=p_{o}+frac{ ho v_{o}^{2}}{2} label{3.16} ]